Сокращения порядок: Пошаговая инструкция по увольнению по сокращению штатов 2021

Государственная инспекция труда в Хабаровском крае

Порядок расторжения трудового договора при ликвидации организации, сокращении численности или  штата.

 

  Расторгая трудовой договор в связи с ликвидацией организации  либо прекращения деятельности индивидуальным предпринимателем (п.1 ст. 81 ТК РФ),  по сокращению штата (п. 2 ст. 81 ТК РФ) работодатель обязан провести ряд мероприятий, предусмотренных Трудовым Кодексом РФ. Определенный законом порядок и процедура увольнения является гарантией соблюдения основных трудовых прав работников при увольнении по сокращению штата. Невыполнение работодателем хотя бы одного из установленных законом мероприятий при увольнении работников по вышеназванным основаниям, может являться основанием для признания судом увольнения незаконным и повлечь за собой восстановление сотрудника на работе.

 

Таким образом, каждый из этапов проведения мероприятий по сокращению штата должен быть обоснованным и законным.

         Основанием для увольнения работников должно служить решение о ликвидации юридического лица, принятое органами или лицами, уполномоченными законом. Сокращение штата (численности работников) также начинается с принятия уполномоченным органом организации соответствующего решения о сокращении штата организации, которое оформляется локальным нормативным актом (например, приказом, распоряжением). В указанном документе, как правило, указывается причина сокращения штата и перечень сокращаемых должностей.

При принятии решения о ликвидации организации, сокращении штата  на первом этапе проведения мероприятий по сокращению численности или штата работников работодатель обязан учитывать ограничения и дополнительные гарантии, предусмотренные законодательством о труде для отдельных категорий работников.

Не допускается увольнение по инициативе работодателя, в том числе и в связи с сокращением штата беременных женщин, а также женщин, имеющих детей в возрасте до трех лет, одиноких матерей, воспитывающих ребенка в возрасте до четырнадцати лет (ребенка-инвалида — до восемнадцати лет), других лиц, воспитывающих указанных детей без матери (ст. 261 ТК РФ), за исключением ликвидации организации.

Кроме этого, работодатель обязан учесть установленное ст. 179 ТК РФ преимущественное право на оставление на работе  при сокращении штатов определенных категорий работников, включая тех, в отношении которых это право установлено коллективным договором.

О предстоящем увольнении в связи с ликвидацией и  сокращением штата работников организации работодатель обязан предупредить работников персонально и под роспись не менее чем за два месяца до увольнения (ст. 180 ТК РФ). Предупреждение работника может иметь место и за больший срок. Такое предупреждение может содержаться в локальном нормативном акте (приказе, распоряжении) о сокращении штата.

Персональное предупреждение означает, что каждый работник должен быть лично предупрежден о предстоящем увольнении. Кроме этого, персональное предупреждение должно подтверждаться личной росписью работника. В этой связи, устный разговор с работником о предстоящем сокращении также не является персональным предупреждением в смысле ст. 180 ТК РФ.

На первом же этапе проведения мероприятий по сокращению численности или штата работников организации работодатель обязан письменно предложить работнику, должность которого подпадает под сокращение, другую имеющуюся работу (вакантную должность). Данное правило устанавливается ст. 180 ТК РФ и ст. 81 ТК РФ. При этом следует учитывать, что процесс сокращения длительный, и к моменту увольнения мнение работника о той или иной работе может измениться, кроме этого, в организации могут открыться новые вакансии. Также впоследствии, в случае конфликтной ситуации, суд будет проверять законность расторжения трудового договора по сокращению штата на день увольнения работника. В этой связи, работодателю следует предлагать работнику другую имеющуюся работу на протяжении всего процесса проведения мероприятий по сокращению штата каждый раз, когда появляется вакантная должность.

Также следует отметить, что отказ работника от предлагаемой ему вакантной должности целесообразно оформить в письменном виде.

На практике может сложиться ситуация, когда работник не согласился поставить подпись на уведомление о предстоящем увольнении или отказался письменно изложить отказ от предложенной вакантной должности. В случае возникновения спора о восстановлении на работе работодатель должен будет подтвердить в суде факт соблюдения им процедуры сокращения штата. Единственным доказательством того, что работник был уведомлен о сокращении, будет являться «Акт об отказе работника расписаться в получении уведомления об увольнении», составленный комиссией из числа не менее трех сотрудников организации, пользующихся доверием работодателя и коллектива. Также подобным Актом может быть зафиксирован факт отказа работника выразить в письменной форме свое несогласие работать по предложенной ему вакантной должности.

Увольнение по сокращению штата работников, являющихся членами профсоюза, должно производиться с соблюдением правил, установленных ст.ст. 82, 373 ТК РФ. Так, согласно ст. 82 ТК РФ при принятии решения о сокращении штата работников организации, и возможном расторжении трудовых договоров с работниками в соответствии с п. 2 ст. 81 ТК РФ работодатель обязан в письменной форме сообщить об этом выборному органу первичной профсоюзной организации не позднее чем за два месяца до начала проведения соответствующих мероприятий, а в случае, если решение о сокращении численности или штата работников может привести к массовому увольнению работников — не позднее чем за три месяца до начала проведения соответствующих мероприятий. При этом работодатель должен направить в профсоюзную организацию проект соответствующего приказа и документы, являющиеся основанием для принятия указанного решения. Сроки направления мотивированного мнения профсоюза и порядок учета мнения профсоюза при расторжении трудового договора по сокращению штата установлены ст. 373 ТК РФ.

В соответствии со ст. 84.1. ТК РФ прекращение трудового договора оформляется приказом (распоряжением) работодателя.

Хотелось бы обратить Ваше внимание, что ст. 81 ТК РФ установлено правило, в соответствии с которым не допускается увольнение работника по инициативе работодателя (за исключением случая ликвидации организации либо прекращения деятельности индивидуальным предпринимателем) в период его временной нетрудоспособности и в период пребывания в отпуске.

Запись в трудовую книжку об основании и о причине прекращения трудового договора с работником должна быть сделана в точном соответствии с формулировкой п. 1 или 2 ст. 81 ТК РФ и содержать ссылку на данную норму закона.

В день прекращения трудового договора работодатель обязан выдать работнику трудовую книжку и произвести с ним расчет в соответствии со статьей 140 ТК РФ.

При получении трудовой книжки в связи с увольнением работник расписывается в личной карточке и в книге учета движения трудовых книжек и вкладышей в них, а также наряду с работником, ответственным за ведение трудовых книжек,  заверяет запись об увольнении собственной подписью  (п. п. 35, 41 Правил ведения и хранения трудовых книжек, изготовления бланков трудовой книжки и обеспечения ими работодателей, утвержденных Постановлением Правительства РФ от 16 апреля 2003 г. N 225 «О трудовых книжках»).

Следует отметить, что в соответствии со ст. 178 ТК РФ работнику, увольняемому по п. 2  ст. 81 ТК РФ, выплачивается выходное пособие в размере среднего месячного заработка, а также за ним сохраняется средний месячный заработок на период трудоустройства, но не свыше двух месяцев со дня увольнения (с зачетом выходного пособия).

В исключительных случаях средний месячный заработок сохраняется  за уволенным работником в течение третьего месяца со дня увольнения по решению органа службы занятости населения при условии, если в двухнедельный срок после увольнения работник обратился в этот орган и не был им трудоустроен. Положения ст. 178 ТК РФ полностью распространяется также на высвобождаемых пенсионеров.

При прекращении трудового договора с совместителем по основаниям, по которым предусматривается выплата выходного пособия, такое пособие должно быть ему выплачено. Однако на период трудоустройства в данном случае за работником не сохраняется средний заработок, поскольку он фактически трудоустроен по основному месту работы.

Начальник отдела                                                      С. А. Шинякова

Если сокращение | Официальный сайт Центра занятости населения города Касли

Сокращение численности или штата работников — процедура, четко регламентированная законодательством

Горячая линия по вопросам увольнения в связи с сокращениями — (351) 261-51-38

Центр консультаций в сфере труда и занятости: г. Челябинск, ул. Софьи Ковалевской, 2, каб. 211; тел. 8-800-444-80-88 (звонок бесплатный), e-mail: [email protected]

Государственная инспекция труда в Челябинской области

Информационный портал «Работа в России»

Инструкция по работе с сервисом сбора информации о численности сотрудников для работодателей на портале Работа в России

Сокращение численности работников — уменьшение численности штатных единиц по определенным должностям.

Сокращение штата — исключение из штатного расписания некоторых должностей.

Массовое высвобождение персонала

 — сокращение численности работников в связи с ликвидацией, реорганизацией, перепрофилированием предприятия.

Основными критериями массового высвобождения являются показатели численности увольняемых работников в связи с ликвидацией предприятий, учреждений, организаций либо сокращением численности или штата работников за определенный календарный период (п. 2.2.5. Регионального соглашения между профсоюзами, работодателями и Правительством Челябинской области на 2014-2017 годы)

К ним относятся:

• увольнение работников в связи с ликвидацией предприятия любой организационно-правовой формы с численностью работающих 15 и более человек;
• сокращение численности или штата работников предприятия в количестве:

— 50 и более человек в течение 30 календарных дней;
— 200 и более человек в течение 60 календарных дней;
— 500 и более человек в течение 90 календарных дней.

• если общее сокращение численности или штата работников составляет более 10% от общей численности работников.

Ликвидация организации — это процедура, в результате которой прекращаются все ее права и обязанности. Они не переходят в порядке правопреемства к другим лицам (п. 1 ст. 61 ГК РФ). После ликвидации компании ни один из кредиторов не сможет потребовать исполнения каких бы то ни было обязательств. Все расчеты, в том числе и с увольняемыми работниками, должны быть закончены в течение процедуры ликвидации.

Сроки уведомления службы занятости:

• при принятии решения о сокращении численности или штата работников организации и возможном расторжении трудовых договоров работодатель обязан в письменной форме сообщить об этом в центр занятости населения не позднее чем за 2 месяца, а работодатель — индивидуальный предприниматель не позднее чем за 2 недели до начала проведения соответствующих мероприятий,
• при принятии решения о массовом сокращении численности или штата работников организации — не позднее чем за 3 месяца до начала проведения соответствующих мероприятий (ч. 1 ст. 82 ТК РФ; ст. 25 Закона РФ от 19.04.1991 г. №1032-1 «О занятости населения в Российской Федерации»).

Документы, предоставляемые работодателем в центр занятости населения при сокращении штата и/или массовом высвобождении работников:

Уведомление работников

Работодатель должен не менее, чем за 2 месяца, письменно и под роспись, уведомить работника о предстоящем сокращении (ч. 2 ст. 180 Трудового Кодекса РФ). Работника, заключившего договор на срок до двух месяцев, о предстоящем увольнении в связи с сокращением численности или штата необходимо предупредить в письменной форме под роспись не менее чем за 3 календарных дня (ч. 2 ст. 292 ТК РФ), а занятого на сезонных работах — не менее, чем за 7 календарных дней (ч. 2 ст. 296 ТК РФ) до дня увольнения;

ч. 3 ст. 180 ТК РФ позволяет работодателю расторгнуть трудовой договор по рассматриваемому основанию и до истечения указанного выше двухмесячного срока. Для этого требуется письменное согласие работника. В этом случае работник имеет право на компенсацию в размере среднего заработка, исчисленного пропорционально времени, оставшемуся до истечения срока предупреждения об увольнении.

Уволить работника по данному основанию возможно лишь в случае, если нельзя перевести с его письменного согласия на другую имеющуюся у работодателя работу, которую работник может выполнять с учетом его состояния здоровья. Предлагаемая вакантная должность или работа может быть как соответствующей квалификации работника, так и нижестоящей или нижеоплачиваемой. Работодатель обязан предлагать все отвечающие указанным требованиям вакансии, имеющиеся у него в данной местности (ст. 81 ТК РФ). Если же в коллективном договоре, соглашении или трудовом договоре предусмотрено соответствующее положение, то работодатель обязан предлагать вакансии и в других местностях.

Работодатель не имеет права увольнять по сокращению численности или штата работников беременных женщин и женщин, находящихся в отпуске по уходу за ребенком в возрасте до 3-х лет.

При принятии работодателем решения о ликвидации организации – увольнению подлежат все работники без исключения (п. 1 ч. 1 ст. 81 ТК РФ).

Выходное пособие

При расторжении трудового договора в связи с ликвидацией организации (п.1 ч.1 ст. 81 ТК РФ), либо сокращением численности штата (п.2 ч.1 ст 81 ТК РФ) увольняемому работнику выплачивается выходное пособие в размере среднего месячного заработка, а также за ним сохраняется средний месячный заработок на период трудоустройства, но не свыше двух месяцев со дня увольнения (с зачетом выходного пособия) (ч. 1 ст. 178 ТК РФ).

В исключительных случаях средний месячный заработок сохраняется за увольняемым работником в течение третьего месяца со дня увольнения по решению органа службы занятости населения при условии, если в двухнедельный срок после увольнения работник обратился в этот орган и не был им трудоустроен (ч.2 ст. 178 ТК РФ).

Расчет, трудовая книжка выдается увольняемому работнику в день увольнения (ст.62, ст.140 ТК РФ). Выплата месячного выходного пособия в размере месячного заработка и сохраняемой средней заработной платы производится работодателем по месту работы и за счет средств работодателя.

Документы, предоставляемые работодателем в центр занятости населения при принятии работодателями решений о введении режимов неполного рабочего времени, временной приостановке работы (простое), предоставлении работникам отпуска без сохранения заработной платы:

 

Обнаружив в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter, чтобы сообщить нам.

Дата публикации: 26 октября, 2018 [03:38]
Дата изменения: 14 апреля, 2020 [11:46]

Увольнение работника в связи с сокращением численности или штата

ПРОКУРАТУРА ПРИМОРСКОГО РАЙОНА РАЗЪЯСНЯЕТ:

«Увольнение работника в связи с сокращением численности или штата».

Заявления, содержащие сведения о нарушении законов, направляйте в соответствии с информацией, размещенной в рубриках «Интернет-приемная» и «Координаты для обращений».

В соответствии с п. 2 ч. 1 ст. 82 Трудового кодекса РФ одним из оснований увольнения работника по инициативе работодателя является увольнение в связи с сокращением численности или штата работников.

Согласно закону увольнение по данному основанию допускается, если невозможно перевести работника на другую имеющуюся у работодателя работу. Для этого, прежде всего, необходимо письменное согласие работника. При этом вакантная должность или работа могут как соответствовать квалификации работника, так и являться нижестоящими или нижеоплачиваемыми. Однако в любом случае это должна быть работа, которую работник может выполнять с учетом его состояния здоровья.

Работодатель обязан предлагать работнику все отвечающие указанным требованиям вакансии, имеющиеся у него в данной местности. При решении вопроса о переводе работника на другую работу необходимо также учитывать реальную возможность работника выполнять предлагаемую ему работу с учетом его образования, квалификации и опыта.

Необходимо иметь в виду, что расторжение трудового договора с работником по указанному основанию возможно при условии, что он не имел преимущественного права на оставление на работе и был предупрежден о предстоящем увольнении персонально и под расписку не менее чем за два месяца.

Если работник является членом профсоюза, то его увольнение производится с учетом мотивированного мнения выборного органа первичной профсоюзной организации.

При несогласии с действиями работодателя при сокращении численности или штата работник имеет право обратиться в суд за разрешением индивидуального трудового спора в течение трех месяцев со дня, когда он узнал или должен был узнать о нарушении своего права, а по спорам об увольнении — в течение одного месяца со дня вручения ему копии приказа об увольнении либо со дня выдачи трудовой книжки.

Порядок увольнения в связи с сокращением штата

Увольнение работника в связи с сокращением численности или штата

Порядок действий

В приказе указываются причины и дата сокращения, а также дается распоряжение о создании комиссии по выполнению процедуры сокращения численности или штата организации.

2.

Ознакомить с приказом заинтересованных лиц

С приказом необходимо ознакомить всех членов комиссии и работников, которые в дальнейшем будут принимать участие в процедурах по сокращению численности или штата. Приказ следует распечатать и ознакомить с ним работников под роспись — в нижней части приказа работники должны расписаться и поставить дату ознакомления.

7.

Выявить работников, у которых есть преимущественное право на оставление на работе

При сокращении численности или штата работников преимущественное право на оставление на работе предоставляется работникам с более высокой производительностью труда и квалификацией. Если же уровень квалификации или деловых качеств одинаков, предпочтение отдается лицам, указанным в ст. 179 ТК РФ.

Уведомить необходимо в письменной форме по почте заказным письмом либо нарочным. При этом экземпляр уведомления с отметкой профсоюзной организации либо с почтовой квитанцией необходимо сохранить как доказательство уведомления.

Срок: не менее чем за 2 месяца (в случае массовых увольнений — не менее чем за 3 месяца).

Массовым является сокращение численности или штата работников предприятия в количестве:

— 50 и более человек в течение 30 календарных дней;

— 200 и более человек в течение 60 календарных дней;

— 500 и более человек в течение 90 календарных дней;

— увольнение работников в количестве 1 процента общего числа работающих в связи с сокращением численности или штата в течение 30 календарных дней в регионах с общей численностью занятых менее 5 тыс. человек.

Уведомить необходимо в письменной форме по почте заказным письмом либо нарочным. При этом экземпляр уведомления с отметкой службы занятости либо с почтовой квитанцией необходимо сохранить как доказательство уведомления.

Срок: не менее чем за 3 месяца.

Уведомить необходимо в письменной форме по почте заказным письмом либо нарочным. При этом экземпляр уведомления с отметкой службы занятости либо с почтовой квитанцией необходимо сохранить как доказательство уведомления.

Срок: не менее чем за 2 месяца.

В текст уведомления должен быть включен перечень вакантных работ, имеющихся у работодателя, которые работник может выполнять с учетом состояния здоровья (как вакантную должность или работу, соответствующую квалификации работника, так и вакантную нижестоящую должность или нижеоплачиваемую работу).

Уведомление составляется в письменной форме в двух экземплярах. На экземпляре работодателя работник должен расписаться в подтверждение того, что он его получил.

Срок: за 2 месяца до даты сокращения. В случае сезонных работ — не менее чем за 7 календарных дней, в случае срочного трудового договора — не менее чем за 3 календарных дня.

15.

Получить отказ работника от предложенных вакансий

Отказ работника от перевода на другую работу составляется в письменной форме в виде заявления об отказе от перевода или указывается работником на уведомлении.

18.

Согласовать увольнение с соответствующей государственной инспекцией труда и комиссией по делам несовершеннолетних и защите их прав

Для получения разрешения необходимо направить запрос в эти организации по поводу увольнения несовершеннолетнего работника.

Результат:

— согласие государственной инспекции труда и комиссии по делам несовершеннолетних и защите их прав на расторжение трудового договора.

19.

Согласовать увольнение с выборным органом профсоюзной организации

В соответствии со ст. 373 ТК РФ работодатель направляет в такую организацию проект приказа об увольнении, а также копии документов, являющихся основанием для принятия решения об увольнении.

Результат: мотивированное мнение профсоюзной организации в письменной форме.

Срок: 7 рабочих дней со дня получения проекта приказа и копий документов.

22.

Ознакомить работника с приказом о прекращении трудового договора под роспись

Приказ следует распечатать и ознакомить с ним работника под роспись — в нижней части приказа работник должен расписаться и поставить дату ознакомления.

25.

Выплатить заработную плату, денежную компенсацию за неиспользованный отпуск и остальные причитающиеся выплаты на основании записки-расчета

К остальным выплатам относятся:

1.

выходное пособие в размере среднего месячного заработка. Но при прекращении трудового договора с работником, занятым на сезонных работах, выходное пособие выплачивается в размере двухнедельного среднего заработка.

2.

средний месячный заработок на период трудоустройства, но не свыше трех месяцев со дня увольнения (с зачетом выходного пособия). В исключительных случаях средний месячный заработок сохраняется до шести месяцев со дня увольнения по решению органа службы занятости населения при условии, если в месячный срок после увольнения работник обратился в этот орган и не был им трудоустроен.

3.

дополнительная компенсация в размере среднего заработка работника, исчисленного пропорционально времени, оставшемуся до истечения срока предупреждения об увольнении.

Срок: день увольнения.

Внесение информации в сведения о трудовой деятельности об основании и о причине прекращения трудового договора должны производиться в точном соответствии с формулировками Трудового кодекса или иного федерального закона и со ссылкой на соответствующие статью, часть статьи, пункт статьи Трудового кодекса или иного федерального закона.

Срок: день увольнения.

Срок: день увольнения.

Работодатель обязан направить сведения о трудовой деятельности на бумажном носителе по почте заказным письмом с уведомлением о вручении.

Со дня направления письма работодатель освобождается от ответственности за задержку предоставления сведений о трудовой деятельности у данного работодателя.

Срок: три рабочих дня с момента получения (регистрации) заявления.

Уведомить необходимо в письменной форме по почте заказным письмом. При этом экземпляр уведомления c почтовой квитанцией необходимо сохранить как доказательство уведомления.

Срок: Две недели

	Конец процедуры

У вас остались вопросы по этой процедуре?

Посмотрите ответы на Часто задаваемые вопросы.

Задайте свой вопрос в обсуждении процедуры.

Либо обращайтесь в службу поддержки по телефону 8 800 333 14 84

Нормативная документация

Сокращения медперсонала во время эпидемии недопустимы

13 ноября 2020 12:00

Олег Кожемяко: Сокращения медперсонала во время эпидемии недопустимы

Еще 95 приморцев победили коронавирус за минувшие сутки. Текущая ситуация с лечением больных COVID-19 будет учтена при создании в крае медицинских округов. Об этом заявил Губернатор Олег Кожемяко на очередном заседании оперативного штаба в пятницу, 13 ноября.

По информации территориально управления Роспотребнадзора, с начала эпидемии коронавирусом в Приморье переболели более 13,5 тысяч человек. За минувшие сутки болезнь победили еще 95 человек.

«При этом зафиксировано еще 217 случаев заболевания коронавирусной инфекцией, с нарастающим итогом – 18 079. Не справились с болезнью за все время эпидемии 190 человек», – уточнила заместитель руководителя ведомства Светлана Морозова.

По ее словам, наибольшее количество случаев заболевания COVID-19 зафиксированы во Владивостоке, Хасанском районе, Артеме, Находке, Лесозаводске и Спасске-Дальнем.

Олег Кожемяко подчеркнул, что необходимо централизовать оказание медицинской помощи. Для этого сегодня в Приморском крае создаются медицинские округа.

«Мы создаем медицинские округа для концентрации и повышения эффективности оказания медицинской, высокотехнологичной помощи. Главы муниципальных образований должны организовать эту работу. Подчеркну, что при этом сокращения по медицинскому персоналу исключены – ни по младшему, ни по среднему, ни по врачам», – заявил Губернатор.

Руслан Ко, [email protected]

Фото – Игорь Новиков (Правительство Приморского края)

Выходные пособия при ликвидации и сокращении: новые правила

13 августа вступает в силу Федеральный закон от 13.07.2020 № 210-ФЗ, уточняющий порядок и устанавливающий новые правила выплаты выходных пособий при увольнении в связи с ликвидацией организации, либо сокращением численности или штата работников организации.

В случае увольнения в связи с ликвидацией, по новым правилам, все выплаты работникам в любом случае должны быть сделаны до ее завершения. Однако при этом работодатель может заменить ежемесячные выплаты на период трудоустройства работника единовременной компенсацией в размере 2-х средних заработков.

Согласно новой редакции статьи 178 Трудового Кодекса РФ, уточнены сроки обращения работниками за выходным пособием при сокращении или ликвидации организации. Работник при увольнении имеет право на выходное пособие в размере среднего месячного заработка, выплачиваемого в последний рабочий день, как было установлено ранее. Работник также может обратиться за ежемесячными выплатами на период трудоустройства, однако, по новым правилам, сделать это он должен не позднее 15 рабочих дней после окончания:

• второго месяца со дня увольнения;
• третьего месяца со дня увольнения (при наличии соответствующего решения службы занятости).

Работодателю, в свою очередь, необходимо произвести выплаты в течение 15 календарных дней со дня обращения уволенного работника .

Если работник трудоустроится до конца месяца, то средний заработок выплачивается пропорционально периоду трудоустройства, приходящемуся на этот месяц.

Важно, что согласно новым правилам, работодатель может в любое время по своему усмотрению заменить ежемесячные выплаты работнику, увольняемому/уволенному по сокращению или ликвидации, единовременной выплатой в размере 2-х средних заработков работника.

Аналогичные изменения внесены и в статью 318 Трудового Кодекса РФ в отношении работников, увольняемых по указанным основаниям из организаций, расположенной в районах Крайнего Севера и приравненных к ним местностях.

---

Надеемся, предоставленная информация окажется для вас полезной. Если вы или кто-то из ваших коллег хотели бы получать наши информационные письма по почте, пожалуйста, заполните форму «Подписаться на рассылки» внизу страницы.

Практика: Трудовое право

Примечание: Обращаем ваше внимание на то, что вся информация была взята из открытых источников. Автор данного письма не несет ответственность за последствия, возникшие в результате принятия решений на основе данной информации.

Как часто при сокращении нужно предлагать работнику вакансии, определил суд

Как часто при сокращении нужно предлагать работнику вакансии, определил суд

Сотрудника предупредили о сокращении и ознакомили со свободными должностями. После этого в компании появились новые вакантные места, но работнику до увольнения их занять не предлагали.

Суд увидел в этом нарушение процедуры сокращения. Предлагать вакантные должности нужно неоднократно по мере их появления. При этом работник вправе первым получить приглашение на свободное место.

Согласно статье 180 ТК РФ при проведении мероприятий по сокращению численности или штата работников организации работодатель обязан предложить работнику другую имеющуюся работу (вакантную должность) в соответствии с частью 3 ст. 81 ТК РФ.

В силу части 3 ст. 81 ТК РФ увольнение по сокращению численности или штата работников организации допускается, если невозможно перевести работника с его письменного согласия на другую имеющуюся у работодателя работу (как вакантную должность или работу, соответствующую квалификации работника, так и вакантную нижестоящую должность или нижеоплачиваемую работу), которую работник может выполнять с учетом его состояния здоровья. При этом работодатель обязан предлагать работнику все отвечающие указанным требованиям вакансии, имеющиеся у него в данной местности.

Как разъяснил Пленум Верховного Суда РФ в пункте 29 постановления от 17 марта 2004 года N 2 «О применении судами Российской Федерации Трудового кодекса Российской Федерации», при решении вопроса о переводе работника на другую работу (в ходе проведения мероприятий по сокращению штатов) необходимо также учитывать реальную возможность работника выполнять предлагаемую ему работу с учетом его образования, квалификации, опыта работы.

Обязанность работодателя предлагать все вакансии означает, в том числе, необходимость предлагать все вакантные должности, имеющиеся как в день предупреждения работника о предстоящем увольнении, так и освобождающиеся в течение периода с момента предупреждения по день увольнения включительно, то есть предложение вакантных должностей работнику должно осуществляться неоднократно — по мере их образования. При этом в течение срока предупреждения об увольнении работник, подлежащий сокращению, имеет право на первоочередное предложение образовавшегося вакантного места по сравнению с другими претендентами. Несоблюдение этого правила свидетельствует о том, что работодатель ненадлежащим образом выполняет возложенную на него частью 3 ст. 81 ТК РФ обязанность.

Старший помощник прокурора района                                                                                       Э.Р. Давлетова

 
 

дифференциальных уравнений — сокращение порядка

Для уменьшения количества заказов необходимо, чтобы решение было заранее известно. Без этого известного решения мы не сможем сократить заказ.

Когда у нас будет это первое решение, мы предположим, что второе решение будет иметь вид

\ [\ begin {уравнение} {y_2} \ left (t \ right) = v \ left (t \ right) {y_1} \ left (t \ right) \ label {eq: eq1} \ end {уравнение} \]

для правильного выбора \ (v (t) \).{- 1}}} \ right) v & = 0 \\ 2tv » — 3v ‘& = 0 \ end {align *} \]

Обратите внимание, что после упрощения остаются только члены, содержащие производные от \ (v \). Термин, включающий \ (v \), выпадает. Если вы выполнили всю свою работу правильно, это должно происходить всегда. Иногда, как в случае с повторяющимися корнями, выпадает и первый член производной.

Итак, чтобы \ (\ eqref {eq: eq1} \) было решением, тогда \ (v \) должен удовлетворять

\ [\ begin {уравнение} 2tv » — 3v ‘= 0 \ label {eq: eq2} \ end {уравнение} \]

Кажется, это проблема.Чтобы найти решение дифференциального уравнения второго порядка с непостоянными коэффициентами, нам необходимо решить другое дифференциальное уравнение с непостоянными коэффициентами второго порядка.

Однако проблема не в этом. Поскольку термин, связанный с \ (v \), выпадает, мы действительно можем решить \ (\ eqref {eq: eq2} \), и мы можем сделать это, зная, что у нас уже есть на данный момент. Мы решим эту проблему, сделав следующее изменение переменной .

\ [w = v ‘\ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} w’ = v » \]

С этим изменением переменной \ (\ eqref {eq: eq2} \) становится

\ [2tw ‘- 3w = 0 \]

, и это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, которое мы можем решить. Это также объясняет название этого метода. Нам удалось свести дифференциальное уравнение второго порядка к дифференциальному уравнению первого порядка. {\ frac {5} {2}}} \ hspace {0.{\ frac {3} {2}}} \]

Если бы нам были заданы начальные условия, мы могли бы дифференцировать, применить начальные условия и решить для констант.

Редукция порядка

Некоторые уравнения второго порядка могут быть сведены к уравнениям первого порядка, что делает их доступными для простых методов решения уравнений первого порядка. Ниже приведены три конкретных типа таких уравнений второго порядка:

Тип 1: уравнения второго порядка с отсутствующей зависимой переменной

Тип 2: нелинейные уравнения второго порядка с отсутствующей независимой переменной

Тип 3: однородные линейные уравнения второго порядка, в которых известно одно (ненулевое) решение

Тип 1: Уравнения второго порядка с отсутствующей зависимой переменной. Примеры таких уравнений включают

Определяющая характеристика заключается в следующем: зависимая переменная y явно не появляется в уравнении. Этот тип уравнения второго порядка легко сводится к уравнению первого порядка преобразованием

Эта замена, очевидно, подразумевает y ″ = w ′, и исходное уравнение становится уравнением первого порядка для w . Решить для функции w ; затем интегрируйте его, чтобы получить y .

Пример 1 : Решите дифференциальное уравнение y ′ + y ″ = w .

Поскольку зависимая переменная y отсутствует, пусть y ′ = w и y ″ = w ′. Эти замены преобразуют данное уравнение второго порядка в уравнение первого порядка

в стандартной форме. Применяя метод решения таких уравнений, сначала определяется интегрирующий коэффициент,

, а затем умножили обе части уравнения, получив

Следовательно,

Теперь, чтобы получить решение y исходного уравнения второго порядка, проинтегрируем:

Это дает

Ссылаясь на теорему B, обратите внимание, что это решение означает, что y = c ₁ e ^{— x} + c ₂ является общим решением соответствующего однородного уравнения и что y = ½ x ² — x — частное решение неоднородного уравнения.(Это конкретное дифференциальное уравнение также можно было бы решить, применив метод решения линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.)

Пример 2 : Решите дифференциальное уравнение

И снова зависимая переменная y отсутствует в этом уравнении второго порядка, поэтому ее порядок будет уменьшен путем замены y ′ = w и y ″ = w ′:

, который можно записать в стандартной форме

Интегрирующий коэффициент здесь

.

, которое используется для умножения обеих частей уравнения, что дает

Интегрирование w дает y :

Положив c ₁ = ⅓ c ₁ , общее решение можно записать

Пример 3 : Набросок решения IVP

Хотя это уравнение является нелинейным [из-за члена ( y ′) ² ; ни y , ни любые его производные не могут быть возведены в какую-либо степень (кроме 1) в линейном уравнении], замены y ′ = w и y ″ = w ′ по-прежнему будут свести это к уравнению первого порядка, поскольку переменная y не появляется явно.Дифференциальное уравнение преобразуется в

который отделяется:

Поскольку y ′ = w , интегрирование дает

Теперь примените начальные условия для определения констант c ₁ и c ₂ .

Поскольку c ₁ = 1, первое условие также подразумевает c ₂ = 1.Таким образом, решение этой IVP (по крайней мере, для x > −1) равно

.

, график которого показан на рис.

Рисунок 1

Тип 2: нелинейные уравнения второго порядка с отсутствующей независимой переменной. Вот пример такого уравнения:

Определяющая характеристика заключается в следующем: независимая переменная x явно не фигурирует в уравнении.

Метод уменьшения порядка этих уравнений второго порядка начинается с той же замены, что и для уравнений типа 1, а именно с замены y ′ на w . Но вместо того, чтобы просто записать y ″ как w ′, уловка здесь состоит в том, чтобы выразить y ″ через первую производную по y . Это достигается с помощью цепного правила:

Следовательно,

Эта замена вместе с y ′ = w сведет уравнение типа 2 к уравнению первого порядка для w .Как только w определено, проинтегрируйте, чтобы найти y .

Пример 4 : Решите дифференциальное уравнение

Замены y ′ = w и y ″ = w ( dw / dy ) преобразуют это уравнение второго порядка для y в следующее уравнение первого порядка для w :

Следовательно,

Утверждение w = 0 означает y ′ = 0, и, таким образом, y = c является решением для любой константы c .Второе утверждение представляет собой разделимое уравнение, и его решение происходит следующим образом:

Теперь, поскольку w = dy / dx , этот последний результат становится

, который дает общее решение, неявно выраженное следующим образом:

Следовательно, полное решение данного дифференциального уравнения равно

Тип 3: однородные линейные уравнения второго порядка, для которых известно одно (отличное от нуля) решение. Иногда можно определить решение дифференциального уравнения второго порядка путем проверки, что обычно сводится к успешным пробам и ошибкам с использованием нескольких особенно простых функций. Например, вы можете обнаружить, что простая функция y = x является решением уравнения

или что y = e ^x удовлетворяет уравнению

Конечно, метод проб и ошибок — не лучший способ решить уравнение, но если вам повезет (или вы достаточно натренированы), чтобы действительно найти решение путем проверки, вы должны быть вознаграждены.

Если известно одно (ненулевое) решение однородного уравнения второго порядка, существует простой процесс определения второго, линейно независимого решения, которое затем может быть объединено с первым для получения общего решения. Пусть y ₁ обозначает функцию, которая, как вы знаете, является решением. Затем пусть y = y ₁ v ( x ), где v — это функция (пока неизвестная). Подставляем y = y ₁ v в дифференциальное уравнение и получаем уравнение второго порядка для v .Это окажется уравнение типа 1 для v (поскольку зависимая переменная v не будет отображаться явно). Используйте метод, описанный ранее, чтобы найти функцию v ; затем подставьте в выражение y = y ₁ v , чтобы получить желаемое второе решение.

Пример 5 : Дайте общее решение дифференциального уравнения

Как упоминалось выше, легко найти простое решение y = x .Обозначив это известное решение как y ₁ , подставим y = y ₁ v = xv в данное дифференциальное уравнение и решим относительно v . Если y = xv , то производные равны

Подстановка в дифференциальное уравнение дает

Обратите внимание, что это результирующее уравнение является уравнением типа 1 для v (поскольку зависимая переменная v не отображается явно).Итак, если принять v ′ = w и v ”= w ′, это уравнение второго порядка для v становится следующим уравнением первого порядка для w :

Интегрирующий коэффициент для этого стандартного линейного уравнения первого порядка равен

.

и умножение обеих частей (*) на μ = x дает

Игнорировать константу c и интегрировать для восстановления v :

Умножьте это на y ₁ , чтобы получить желаемое второе решение,

Общее решение исходного уравнения представляет собой любую линейную комбинацию y ₁ = x и y ₂ = x In | x |:

Это согласуется с общим решением, которое было бы найдено, если бы эта проблема была решена с использованием метода решения равноразмерного уравнения.

Пример 6 : Определите общее решение следующего дифференциального уравнения, учитывая, что ему удовлетворяет функция y = e ^x :

Обозначая известное решение как y ₁ , подставляем y = y ₁ v ′ = e ^x v в дифференциальное уравнение. Если y = e ^x u , производные равны

.

Подстановка в данное дифференциальное уравнение дает

, которое упрощается до следующего уравнения второго порядка типа 1 для v :

Положив v ′ = w , затем переписав уравнение в стандартной форме, получим

Интегрирующий коэффициент в данном случае равен

.

Умножение обеих частей (*) на μ μ = e ^x / x дает

Игнорировать константу c и интегрировать для восстановления v :

Умножьте это на y ₁ , чтобы получить желаемое второе решение,

Общее решение исходного уравнения представляет собой любую линейную комбинацию y ₁ и y ₂

Как использовать заказ на сокращение Salesforce

Заказ на сокращение — это активирующая функция на платформе Salesforce.Это соглашение между компанией и клиентами, в соответствии с которым клиенты могут обрабатывать возврат продуктов или услуг и уменьшать количество размещаемых продуктов.

Предварительное условие

Шаги для включения порядка уменьшения приведены ниже.

Шаг 1: Нажмите «Настройка»> «Перейти к настройке»> «Порядок»> «Параметры заказа».

ИЛИ

Щелкните по настройке, иначе вы можете настроить напрямую и выполнить поиск параметров заказа в поле быстрого поиска / поиска.

Шаг 2: Включите порядок уменьшения и сохраните.

Реализация

Перейдите на вкладку «Заказ», чтобы создать заказ, добавить продукты и активировать его. Вы увидите кнопку «Уменьшить заказ».

Когда вы нажмете кнопку, вы увидите, что имя учетной записи и номер контракта уже упомянуты, то есть предварительно заполнены и не редактируются.

Введите соответствующую информацию и сохраните.
Ценник выбран заранее.

Примечание: Убедитесь, что список, связанный с порядком сокращения, добавлен в макет страницы.

Теперь вы можете увидеть, что в месте «Добавить продукт» доступна «кнопка выбора продукта для уменьшения». Щелкните по этой кнопке.

Наконец, в случае заказа на сокращение мы не можем добавить больше, чем указано в родительском заказе, но мы действительно можем уменьшить количество количеств в том же самом. Добавьте уменьшенное количество и сохраните.

Выход

Ключевое примечание

• После того, как количество уменьшено, его нельзя будет отредактировать.
• После того, как заказ на сокращение создан, в дальнейшем нельзя деактивировать родительский заказ.
• Текущий заказ не подлежит дальнейшему уменьшению.
• Родительский заказ можно уменьшить.
• Заказы на сокращение — отличное готовое решение в Salesforce Classic.
• В настоящее время в Lightning вы можете инициировать заказ на сокращение, но вы не можете добавлять продукты заказа в заказы на сокращение в Lightning.

Emizentech — ведущая компания-разработчик Salesforce, которая предоставляет консалтинговые услуги Salesforce клиентам по всему миру.Если у вас есть план, свяжитесь с нашими опытными разработчиками Salesforce прямо сейчас.

Уменьшение заказа | StudyPug

Сокращение заказа

Метод уменьшения порядка для решения дифференциального уравнения второго порядка основан на идее решения дифференциальных уравнений первого порядка одного за другим, которые были выведены из исходного уравнения второго порядка для упрощения задачи. Название этого метода происходит именно от этой процедуры, поскольку мы можем буквально сказать, что, решая дифференциальные уравнения первого порядка для нахождения решения задачи, мы «понизили» порядок исходного уравнения.

Когда у нас есть набор дифференциальных уравнений первого порядка для решения проблемы, мы можем работать с ними, используя более простые подходы, такие как метод разделимых уравнений или уравнение Бернулли и т. Д. Какой подход будет выбран, зависит от того, какой набор уравнений вы используете. осталось решить, в этой статье мы продолжим и решим несколько различных примеров, чтобы показать пошаговую методологию.

Как упоминалось ранее, мы будем решать дифференциальные уравнения второго порядка методом редукции порядка, если вы еще не знакомы с этим типом уравнений или вам нужен быстрый обзор по теме, мы рекомендуем вам посетить раздел однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка на веб-сайте StudyPug, прежде чем вы продолжите эту тему.

Возвращаясь к основному вопросу этой статьи, как метод понижения порядка фактически преобразует исходное дифференциальное уравнение второго порядка в более простое? По правде говоря, чтобы мы могли работать с этим методом, мы уже должны знать одно из решений исходного дифференциального уравнения, чтобы мы могли найти второе решение, это второе решение не обязательно должно быть пропорционально данному решению или в другими словами, второе решение может быть линейно независимым, что обычно и является желаемым случаем.

Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка

Обычно пример, содержащий однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка вида:

Уравнение 1: Общий вид однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка

Будет иметь два названных решения:

Уравнение 2: Типичный вид решений дифференциального уравнения

И общее решение будет иметь вид:

Уравнение 3: общая форма решения однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка

Для подобных случаев заданная задача будет содержать уравнение 1 с определенными функциями a (x), b (x) и c (x), а также первое решение y ₁ , уже определенное.Затем дифференциальное уравнение второго порядка будет решено путем сведения к дифференциальному уравнению первого порядка, объединения и перемещения по уравнению для первого решения с использованием основного исчисления и часто исключительно алгебраической методологии, такой как простая подстановка, так что второе решение может быть найденным. В качестве вводного примера, включающего пошаговое объяснение того, как найти общее решение однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка, где первое определенное решение является константой, пожалуйста, посмотрите наши видео в верхней части этой статьи на веб-сайте StudyPug в свой раздел «Уменьшение порядка».

Теперь все это может показаться немного запутанным на словах, поэтому, чтобы прояснить этот момент, давайте взглянем на следующий пример, в котором мы используем метод уменьшения порядка, чтобы найти второе решение дифференциального уравнения: В этом случае , найдем частное решение следующего однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка:

Где известно, что y ₁ (x) = x — решение, а начальные значения — y (1) = 2 и y ‘(1) = 1. Теперь мы собираемся найти второе решение y (x), которое, как мы эмпирически знаем, должно иметь вид y (x) = v (x) x = vx, преобразовав исходную задачу в уравнение первого порядка.

Причина, по которой второе решение автоматически принимает форму v * x, исходит из нашего самого простого предположения, которое подразумевает, что второе решение должно быть каким-то образом связано с первым, поэтому в этом случае мы выбираем случайную функцию x (который мы называем v (x)), чтобы умножить наше первое решение, давая нам обычную форму того, как должно выглядеть это второе решение. Наша задача здесь будет заключаться в том, чтобы найти, что такое v (x).

Используя этот метод, наше второе решение обычно будет полным общим решением дифференциального уравнения второго порядка, которое будет включать наше первое решение.Из-за этого, хотя манипуляции могут занять много времени, это один из лучших методов для получения окончательного решения дифференциального уравнения. В этом случае проблема будет объяснена шаг за шагом, и большинство из этих шагов (или их простая модификация) могут быть повторены для других примеров с однородными дифференциальными уравнениями второго порядка, где решение и параметры известны.

• Шаг первый: Для этой задачи мы начинаем манипуляции с получением первого и второго вывода нашего второго решения в его предполагаемой форме.

  Уравнение 4 (a): первый и второй вывод нашего второго решения

  Теперь мы подставляем эти выводы в наше дифференциальное уравнение второго порядка, так как мы хотим, чтобы они были его решением, поэтому наше дифференциальное уравнение идет от:

  Уравнение 4 (b): Подставляя значения, найденные для производных, во второе решение

  Обратите внимание, что мы факторизовали x и вычислили исчезающие члены, чтобы получить простейшую форму уравнения.

• Шаг второй: Мы преобразуем дифференциальное уравнение второго порядка в дифференциальное уравнение первого порядка, которое легче решить, подставив v ‘= w и v’ ‘= w’.

  Уравнение 4 (c): преобразование из дифференциального уравнения второго порядка в дифференциальное уравнение первого порядка

  Мы решаем это новое уравнение методом разделения:

  Уравнение 4 (d): решение с помощью разделяемых уравнений

  Результаты для этих интегралов были получены в предположении, что как w, так и x больше нуля.

  Применяя экспоненту к обеим сторонам, получаем окончательный ответ для w:

  Уравнение 4 (d-1): Окончательное значение w

  , где C ₁ — также любое постоянное значение, эта константа — новое имя, которое мы добавляем к e ^C = C ₁

• Шаг третий: Найдя w, мы получаем значение v (x), вычисляя первообразную w.

  Уравнение 4 (e): получение значения v (x)

  Поскольку все константы — любые числа, для простоты приравняем их все к 1 и получим:

  Уравнение 4 (e-1): упрощенное значение v (x)

  Итак, наше второе решение:

  Уравнение 4 (f): второе решение y в его общем виде

  Обратите внимание, что это общее решение, содержащее y ₁ (x) = x в форме:

  Уравнение 4 (g): Общее решение y, содержащее первое решение

  Где y ₂ (x) = xln (x) и c ₁ и c ₂ — две новые константы, которые нам нужно найти.

• Шаг четвертый: Чтобы найти частное решение исходного однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка, мы вводим начальные параметры y (1) = 2 и y ‘(1) = 1.

  Уравнение 4 (h): ввод начальных условий для нахождения конкретного решения дифференциального уравнения

  Мы знаем, что по определению ln (1) = 0

  Итак, второй член в уравнении исчезает, и остается: c ₁ = 2

  Теперь мы получаем первую производную от y для использования второго параметра:

  Уравнение 4 (h-1): ввод начального условия в первую производную y, чтобы найти конкретное решение дифференциального уравнения

  Следовательно, окончательное общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка будет:

  Уравнение 4 (i): Окончательное общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка

Чтобы подвести итог выполненным шагам, давайте перечислим их с небольшим описанием каждого из них.Вы можете вернуться к этому списку шагов, пока будете работать над другими проблемами, связанными с методом уменьшения порядка.

1. Получите первую и вторую производную второго решения в его предполагаемой форме. Затем подставьте их в исходное дифференциальное уравнение второго порядка, которое мы хотим решить.
2. Преобразуем дифференциальное уравнение второго порядка в дифференциальное уравнение первого порядка, подставляя v ‘= w и v’ ‘= w’. Затем решите уравнение первого порядка, используя более простые методы, такие как разделение, чтобы получить значение w.
3. Получите значение v (x), вычислив первообразную w. Подставьте это в предполагаемую форму второго решения, чтобы получить общее решение дифференциального уравнения второго порядка.
4. Найдите частное решение проблемы, введя начальные условия (или параметры), указанные в задаче.

Как вы, возможно, уже поняли, не существует уникальной формулы уменьшения порядка, которая работает для каждого сценария, поэтому метод порядка уменьшения на самом деле представляет собой комбинацию методов, которые мы уже знаем о том, как решать дифференциальные уравнения первого порядка вместе с новыми уловки в нашей сумке о дифференциации, знания о типах дифференциальных уравнений второго порядка, которые у нас есть, и некоторые ноу-хау или навыки, которые можно развивать на практике.

Приведение примеров заказа

Как упоминалось ранее, чтобы решить проблемы сокращения порядка, нужно развить определенные эмпирические навыки, если хотите, и для этого мы рассмотрим другой пример, в котором мы будем следовать шагам, перечисленным выше. Вы заметите, что, несмотря на наличие основных инструкций, для каждого отдельного примера вам придется решать проблемы самостоятельно.

Основная цель этого примера — увидеть логику предлагаемых шагов решения, а в конце вам будет предоставлен способ проверить правильность вашего решения.Также небольшое напоминание: мы рекомендуем вам понять каждый этап проблем, описанных в этой статье, чтобы вы могли вернуться к ним позже, чтобы попрактиковаться и даже использовать их в качестве справочника позже в своих исследованиях.

Итак, вот последний пример, имеющий следующее однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

Уравнение 5: Однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка

для x> 0 и y ₁ (x) = x с начальными условиями: y (1) = 3 и y ‘(1) = 3/2

• Шаг первый: Мы можем справедливо предположить, что решение будет иметь вид y (x) = v (x) × x = vx, поэтому мы получаем его первую и вторую производную:

  Уравнение 5 (a): первый и второй вывод нашего второго решения

  Затем мы подставляем эти три уравнения в исходное дифференциальное уравнение второго порядка:

  Уравнение 5 (b): Подставляем значения, найденные для производных, во второе решение

  Обратите внимание, что в последней части уравнения члены, содержащие v, компенсируют друг друга, обычно это будет так, чтобы облегчить нам следующий шаг.Итак, наше уравнение было упрощено, и мы можем преобразовать его в дифференциальное уравнение первого порядка на следующем шаге.

• Шаг второй: Сделаем замену v ‘= w и v’ ‘= w’, чтобы преобразовать дифференциальное уравнение второго порядка в дифференциальное уравнение первого порядка.

  Уравнение 5 (c): преобразование из дифференциального уравнения второго порядка в дифференциальное уравнение первого порядка

  Теперь решаем для w разделением:

  Уравнение 5 (d): решение с помощью разделяемых уравнений

  Помните, что C — это просто константа, поэтому мы ее переименовываем.

  В этот момент вы будете время от времени видеть, как константы появляются, помните, что это просто случайные числа, которых мы не знаем, и поэтому мы не можем больше ничего делать, кроме как давать им имена, чтобы они оставались в наших операциях. В некоторых примерах вы можете просто упростить уравнения, предположив, что все константы имеют значение 1 (точно так же, как мы делали раньше в этой статье), это можно сделать, поскольку соотношение пропорциональности сохраняется, даже если вы присваиваете значение этим константам. В этом примере удобно оставить константы такими, какие они есть, поэтому мы продолжаем их, называя и переименовывая их по мере того, как они продолжают преобразовываться в наших операциях, но имейте в виду, каждый раз, когда вы видите C в операциях с новый субиндекс, это просто означает, что либо появилась новая константа, либо мы изменили имя той, которая у нас уже была, из-за операций, через которые она прошла.Мы будем решать эти константы в конце.

• Шаг третий: Получите значение v (x), вычислив первообразную w.

  Уравнение 5 (e): получение значения v (x)

  Подставляем это в y (x) = vx

  Это общее решение дифференциального уравнения второго порядка вида: y (x) = c ₁ y ₁ + c ₂ y ₂

  Разъяснение:

  Обратите внимание, что в нашем решении константы записываются с заглавной буквы «C», в то время как в этом последнем уравнении имена констант записываются в нижнем регистре «c».Причина в том, что формула, содержащая константы в нижнем регистре, — это просто обычная формула, которую мы используем для обозначения общего решения ЛЮБОГО однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка. Следовательно, эти строчные буквы «c» — это не те константы, которые мы нашли в нашем решении y. Наши прописные буквы «C» — это наши конкретные константы решения, которые нужно найти в этом примере.

• Шаг четвертый: Теперь мы можем наконец найти частное решение проблемы, просто введя заданные начальные условия.В данном случае:

  Уравнение 5 (g): начальные условия для дифференциального уравнения

  Следовательно, мы получаем первую производную нашего решения уравнения и применяем условия:

  Уравнение 5 (h): ввод начальных условий для нахождения конкретного решения дифференциального уравнения

  Итак, имея два уравнения:

  Уравнение 5 (h-1): два уравнения для двух неизвестных для нахождения значений неизвестных констант.

  Мы решаем две константы, используя базовую алгебру:

  Уравнение 5 (h-2): Нахождение значений двух неизвестных констант

  Подставляя это в наше общее решение, получаем:

  Уравнение 5 (i): Окончательное решение однородного дифференциального уравнения второго порядка

Вы можете вернуться самостоятельно и доказать, что это решение правильное.

Если вы не знаете, как это сделать, основные шаги для доказательства — найти первую и вторую производную вашего решения, а затем вставить ее в исходное дифференциальное уравнение второго порядка. Как только вы максимально упростите все члены в уравнении, вы заметите, как все они будут компенсировать друг друга, поскольку все уравнение равно нулю. Позвольте нам сделать это, чтобы вы могли увидеть, как это делается, и самостоятельно воссоздать его для будущих проблем:

Проба:

• Уравнение 6: Получение производных от найденного выражения y для доказательства решения дифференциального уравнения

• Подставляя это в уравнение 5:

  Уравнение 7: Подставляем значения, найденные в уравнении 6, в уравнение 5

• Как видите, третий и пятый термины сразу отменяются, оставив:

  Уравнение 8: Решение, найденное для дифференциального уравнения, является правильным, поскольку обратный инжиниринг дает тот же ответ.

  Итак, ответ, который мы получили для дифференциального уравнения второго порядка, ПРАВИЛЬНЫЙ!

Если в любом другом случае, пока вы практикуетесь самостоятельно, ваше решение не разрешает исходное дифференциальное уравнение второго порядка при прохождении доказательства, тогда вам нужно начать заново решать дифференциальное уравнение и посмотреть, где возникла ошибка.Не расстраивайтесь, если это произойдет, помните, что все дело в практике, и вы быстро освоите ее.

Обратите внимание, что в этой статье мы сосредоточились на решении однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка, но вы также можете использовать метод понижения порядка для решения неоднородного дифференциального уравнения. Мы оставим это обсуждение для другого раздела. На данный момент основная цель — познакомиться с методом и понять, что не существует редукции дифференциальных уравнений порядка, которые волшебным образом дадут вам ответ, а все дело в математической обработке информации и знаниях / навыках, которые мы уже имеют.

Чтобы ознакомиться с примерами использования этого и других методов при решении дифференциальных уравнений второго порядка для физических задач, посетите раздел, посвященный приложениям дифференциальных уравнений второго порядка, где вы найдете осмысленный подход к проблемам дифференциальных уравнений, посмотрев, насколько полезны эти математические выражения и методы лежат в основе нашего постепенного понимания мира и развития технологий.

Мы также рекомендуем взглянуть на следующие примечания к дифференциальным уравнениям и примеры по технике сокращения порядка.

5.6: Уменьшение порядка — математика LibreTexts

В этом разделе мы даем метод нахождения общего решения

\ [\ label {eq: 5.6.1} P_0 (x) y » + P_1 (x) y ‘+ P_2 (x) y = F (x) \]

, если мы знаем нетривиальное решение \ (y_1 \) дополнительного уравнения

\ [\ label {eq: 5.6.2} P_0 (x) y » + P_1 (x) y ‘+ P_2 (x) y = 0. \]

Метод называется уменьшением порядка , потому что он сводит задачу решения уравнения \ ref {eq: 5.6.1} к решению уравнения первого порядка.В отличие от метода неопределенных коэффициентов, он не требует, чтобы \ (P_0 \), \ (P_1 \) и \ (P_2 \) были константами, или \ (F \) имел какую-либо особую форму.

К настоящему времени вы не должны удивляться, что мы ищем решения уравнения \ ref {eq: 5.6.1} в форме

\ [\ label {eq: 5.6.3} y = uy_1 \]

, где \ (u \) должен быть определен так, чтобы \ (y \) удовлетворял уравнению \ ref {eq: 5.6.1}. Подставляя уравнение \ ref {eq: 5.6.3} и

\ [\ begin {align *} y ‘& = u’y_1 + uy_1’ \\ [4pt] y » & = u»y_1 + 2u’y_1 ‘+ uy_1’ ‘\ end {align *} \]

в уравнение \ ref {eq: 5.6.1} дает

\ [P_0 (x) (u»y_1 + 2u’y_1 ‘+ uy_1’ ‘) + P_1 (x) (u’y_1 + uy_1’) + P_2 (x) uy_1 = F (x). \ nonumber \]

Сбор коэффициентов при \ (u \), \ (u ‘\) и \ (u’ ‘\) дает

\ [\ label {eq: 5.6.4} (P_0y_1) u » + (2P_0y_1 ‘+ P_1y_1) u’ + (P_0y_1 » + P_1y_1 ‘+ P_2y_1) u = F. \]

Однако коэффициент при \ (u \) равен нулю, поскольку \ (y_1 \) удовлетворяет уравнению \ ref {eq: 5.6.2}. Следовательно, уравнение \ ref {eq: 5.6.4} сводится к

.

\ [\ label {eq: 5.6.5} Q_0 (x) u » + Q_1 (x) u ‘= F, \]

с

\ [Q_0 = P_0y_1 \ quad \ text {и} \ quad Q_1 = 2P_0y_1 ‘+ P_1y_1.3 \} \) является фундаментальным набором решений уравнения \ ref {eq: 5.6.18}.

Снижение порядка — обзор

1 Введение

В этой статье мы представляем обзор нескольких результатов, касающихся радиальных решений квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных, где независимая переменная является пространственной переменной, изменяющейся в области с радиальной симметрией, например шар с центром в начале координат, кольцевая область, определяемая концентрическими сферами с центром в начале координат, внешняя область, внешняя по отношению к шару, или все пространство.Если рассматриваемое уравнение также обладает тем свойством, что зависимость от независимой переменной является радиальной, то можно искать специальные радиальные решения рассматриваемой задачи, и часто бывает так, что некоторые решения, обладающие особыми свойствами, на самом деле должны быть радиальными. решения.

Ситуацию хорошо иллюстрирует очень классическая задача нахождения радиальных собственных значений и собственных функций оператора Лапласа при нулевых граничных условиях Дирихле на единичном круге на плоскости.Другой иллюстрацией является следующая классическая задача Лиувилля – Гельфанда, которая касается существования положительных решений уравнения

(1.1) {Δu + λeu = 0, x∈Ω, u = 0, x∈∂Ω,

, где λ> 0 и Ω — ограниченная область в ℝ ^N . Если это так, Ω = {x∈ℝN: | x | <1}: = B1 (0), тогда разумно спросить, имеет ли уравнение (1.1) решения, которые зависят только от радиальной переменной. Из принципа максимума для эллиптических уравнений следует, что решения (1.1) может принимать положительные значения только внутри области, и тогда из классического результата Гидаса, Ни и Ниренберга [50] следует, что все решения (1.1) радиально симметричны и (1.1) эквивалентно обычному краевая задача дифференциального уравнения

(1.2) {u ″ + N − 1ru ′ + λeu = 0, r∈ (0,1), u ′ (0) = u (1) = 0,

для профиля u ( r ) = u (| x |). Обратите внимание, что изначально дискретный параметр N теперь может изменяться непрерывно.Результаты [50] справедливы для гораздо более общих ситуаций, и из этого следует, что если f : ℝ → ℝ является подходящей гладкой функцией (например, липшицевой), то любое положительное решение

(1.3) {Δu + f (u) = 0, x∈Ω, u = 0, x∈∂Ω,

с Ω шаром, должен быть радиально симметричным относительно центра шара, и аналогичные результаты справедливы для случая, когда Ω представляет собой все пространство или подходящий внешний домен. С другой стороны, это не выполняется для случая, когда Ω является кольцевой областью, и в этом случае часто может случиться, что радиальные решения претерпевают бифуркации нарушения симметрии (некоторые такие результаты будут обсуждаться в этой статье).

Если это

, то радиальные решения (1.3) являются решениями краевой задачи

(1.4) {u ″ + N − 1ru ′ + f (u) = 0, r∈ (a, b), u (a) = u (b) = 0,

. Для N = 1 эти проблемы поддаются уменьшению методов порядка и, следовательно, могут быть решены в явном виде. Для других значений N это, конечно, уже не так в целом, и для изучения структуры решения данного уравнения необходимо использовать другие методы. Подробно остановимся на проблемах, связанных с (1.1) и связанных с ним уравнений, тема, восходящая к Лиувиллю в 1853 г. [71]. В 1914 г. Брату [15] нашел явное решение (1.2) при N = 2. Численный прогресс для (1.2) при N = 3 был достигнут Франк-Каменецким (см. [40]) в его исследовании теплового проблемы с зажиганием. Дальнейший прогресс для N = 3 был сделан Чандрасекар [20, IV: §22–27], где (1.2) появляется как модель для распределения температуры изотермической газовой сферы в гравитационном равновесии.Гельфанд [49] опирался на работу Франк-Каменецкого, когда N = 3, и использовал преобразование Эмдена для доказательства существования значения λ, для которого (1.2) имеет бесконечно много нетривиальных решений.

В 1973 г. Джозеф и Лундгрен [61] полностью охарактеризовали структуру решения (1.2) для всех N и, следовательно, из-за [50] также соответствующей задачи (1.1) в случае, когда область представляет собой шар. Другие связанные примеры возникают из более широкого класса дифференциальных операторов с частными производными, например, работы Клемана, де Фигейредо и Митидиери [22], Азореро и Алонсо [44], Якобсена [57] и Якобсена и Шмитта [59], которые рассмотрим результаты существования и множественности уравнений модели

(1.5) {Δpu + λeu = 0, x∈Ω, u = 0, x∈∂Ω,

, где Δ _p = div (| ∇ u | ^{p −2} ∇ u ) — это оператор Лапласа p [56, 74] и

(1.6) {Sk (D2u) + λeu = 0, x∈Ω, u = 0, x∈∂Ω,

, где S _k ( D ² u ) — оператор Гессе k [108], определенный как сумма всех главных k × k миноров матрицы Гессе D ² u .Например, S ₁ ( D ² u ) = Δ u и S _N ( D ² u ) = det D ² и , оператор Монжа – Ампера.

Обратите внимание, что оба уравнения являются расширениями (1.1). В частности, результаты Джозефа и Лундгрена объясняют радиальный случай (1.5) для p = 2 и (1.6), когда k = 1. В [22] авторы рассматривают (среди прочего) радиальный случай случай обоих (1.5) для p = N и (1.6) для N = 2 k .

Все перечисленные выше задачи являются просто частными случаями более общего семейства задач

(1.7) {r − γ (rα | u ′ | βu ′) + f (λ, u) = 0, r∈ (0 , 1), u> 0, r∈ (0,1), u ′ (0) = u (1) = 0,

или

(1.8) {r − γ (rα | u ′ | βu ′) ′ + F (λ, u) = 0, r∈ (a, b), u> 0, r∈ (a, b), u ′ (a) = u (b) = 0,

, где некоторые неравенства быть наложенным на параметры, входящие в уравнение. Здесь ‘обозначает дифференциацию относительно r .Например, если Ω = B ₁ (0) является единичным шаром, то уравнение (1.7) с f ( λ, u ) = λ e ^u возникает из (1.5) и (1.6) как следствие результатов априорной симметрии (см. [35] для (1.6) и [7] для (1.5)). Аналогичные проблемы могут быть поставлены также для задач внешней области и всего пространства.

Много работ было посвящено краевым задачам и другим качественным исследованиям для более общих дифференциальных операторов вида

(1.9) r − γ (rαϕ (u ′)) ′ + f (λ, u) = 0,

где φ: ℝ → ℝ — возрастающий гомеоморфизм с Φ (0) = 0. Такие проблемы возникают в очень естественный путь в задачах диффузии, где диффузия регулируется быстро растущими условиями. Ниже мы рассмотрим некоторые из таких проблем.

В большей части дальнейшего обсуждения параметр α принимается равным параметру γ и обозначается цифрами N — 1, чтобы указать на источник проблемы уравнения в частных производных, где N обозначает размер лежащего в основе домен.Однако в обсуждении N — 1 может просто обозначать неотрицательный параметр. Приведенные выше уравнения также могут зависеть от других параметров, обозначенных λ, причем зависимость может быть линейной или нелинейной, таким образом, этот параметр может присутствовать как мультипликативный коэффициент или просто как переменная при оценке функции. Если этот параметр не играет роли в получаемом результате, мы просто подавим зависимость.

Работа организована следующим образом: сначала мы обсудим краевые задачи на шаре, связанные с дифференциальным оператором (1.9) и опираются в основном на недавние работы [45–47, 54, 53]. Затем мы переходим к обсуждению проблем, связанных с кольцевыми областями, на основе некоторых работ из [9, 10, 25, 30, 29, 74]. Далее мы представляем подробное обсуждение задач типа Гельфанда. Следуя примеру Гельфанда, мы возвращаемся к общей теории и представляем ряд смежных тем, включая некоторые классические теоремы о колебаниях и неосцилляции, задачи, для которых радиальные решения могут претерпевать бифуркации, нарушающие симметрию (опираясь на работы в [67, 68, 80–82]). , и проблемы, касающиеся радиальных основных состояний задач, определенных во всем пространстве.{\ prime \ prime} = f \ left (x \ right), \) его порядок можно уменьшить, введя новую функцию \ (p \ left (x \ right) \) такую, что \ (y ‘= p \ left (x \ right). \) В результате получаем дифференциальное уравнение первого порядка

\ [p ‘= f \ left (x \ right). \]

Решая его, находим функцию \ (p \ left (x \ right). \) Затем решаем второе уравнение

\ [y ‘= p \ left (x \ right) \]

и получить общее решение исходного уравнения.

Корпус 2.{\ prime \ prime} = f \ left ({x, y ‘} \ right) \)

Здесь мы используем замену \ (y ‘= p \ left (x \ right), \), где \ (p \ left (x \ right) \) — новая неизвестная функция. В результате получаем уравнение первого порядка:

\ [p ‘= \ frac {{dp}} {{dx}} = f \ left ({x, p} \ right). \]

Путем интегрирования находим функцию \ (p \ left (x \ right). \) Затем решаем еще одно уравнение \ (1 \) -го порядка

\ [y ‘= p \ left (x \ right) \]

и найдите общее решение \ (y \ left (x \ right).{\ prime \ prime} = \ frac {{d \ left ({y ‘} \ right)}} {{dx}} = \ frac {{dp}} {{dx}} = \ frac {{dp}} {{dy}} \ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {{dp}} {{dy}} стр. \]

В результате наше исходное уравнение записывается как уравнение \ (1 \) -го порядка

\ [p \ frac {{dp}} {{dy}} = f \ left ({y, p} \ right). \]

Решая его, находим функцию \ (p \ left (y \ right). \) Затем мы решаем другое уравнение первого порядка

\ [y ‘= p \ left (y \ right) \]

и определите общее решение \ (y \ left (x \ right).{\ prime \ prime}} \ right) = \ frac {d} {{dx}} \ Phi \ left ({x, y, y ‘} \ right), \]

, то решение исходного уравнения дается интегралом

\ [\ Phi \ left ({x, y, y ‘} \ right) = C. \]

Таким образом, уравнение второго порядка может быть сведено к уравнению первого порядка.

В некоторых случаях левую часть исходного уравнения можно преобразовать в точную производную с помощью интегрирующего множителя.

См.